§8. Перестановки - Error: Reference source not found §

^





§8. Перестановки п.1. r- перестановки.
Определение. r- перестановкой огромного количества A именуется кортеж из r попарно разных частей огромного количества A. Время от времени r- перестановки именуют размещениями без повторения.

Если (a,...,a) есть §8. Перестановки - Error: Reference source not found § r- перестановка n- элементного огромного количества, то r  n.

Обозначение. Обозначим P(n, r) число всех r- перестановок n- элементного огромного количества, где n, rN. Положим P(n,0) = 1 для nN §8. Перестановки - Error: Reference source not found §0.

Аксиома 1. Число всех r- перестановок n- элементного огромного количества, где

n, rN, рассчитывается по формуле

P(n, r) = n= n(n -1)...(n - r + 1). (1)

Подтверждение. 1-ая координата r- перестановки n- элементного огромного §8. Перестановки - Error: Reference source not found § количества может быть выбрана n методами, если 1-ая координата выбрана, то 2-ая координата может быть выбрана n-1 методами, если выбраны 1-ые две координаты, то 3-я координата может быть выбрана n-2 методами и т §8. Перестановки - Error: Reference source not found §.д. до r- ой координаты включительно, которая может быть выбрана n-r+1 методами. Из аксиомы 2, п.3, следует равенство (1).

Следствие 1. Пусть A и B- конечные огромного количества, |A| = n, |B| = r, где

n, r N §8. Перестановки - Error: Reference source not found §. Тогда число всех инъекций f B  A равно P(n, r) = n.

Подтверждение. Обозначим B={b,...,b}, инъекция f B A может быть записана в табличной форме

,

где кортеж есть r §8. Перестановки - Error: Reference source not found §- перестановка огромного количества A. Потому разыскиваемое число равно P(n, r).

Определение. Пусть A есть n- элементное огромное количество. Перестановкой огромного количества A именуется n- перестановка огромного количества A. Другими словами, перестановка огромного количества §8. Перестановки - Error: Reference source not found § A это кортеж содержащий все элементы огромного количества A по одному разу.

Следствие 2. Число всех перестановок n- элементного огромного количества равно n!.

Подтверждение. Разыскиваемое число равно P(n, n) = n §8. Перестановки - Error: Reference source not found §= n(n-1)...(n-n+1) =

= n!.

Следствие 3. Пусть A и B- конечные огромного количества, |A| = |B| = n, nN. Тогда число всех биекций f B  A равно n!.

Подтверждение. Т.к. |A| = |B|, то любая §8. Перестановки - Error: Reference source not found § биекция f B  A является инъекцией и напротив. По следствию 1, разыскиваемое число равно P(n, n) = n!.

^ п.2. r -элементные подмножества (r - сочетания).
Определение. Пусть A- конечное огромное количество. r- сочетанием §8. Перестановки - Error: Reference source not found § огромного количества A именуется хоть какое r- элементное подмножество огромного количества A.

Аксиома 1. Пусть A есть n- элементное огромное количество, n, rN. Справедливы утверждения:

1. Число всех r- сочетаний n- элементного огромного количества §8. Перестановки - Error: Reference source not found § равно .

2. Число всех r- элементных подмножеств n- элементного огромного количества равно .

Подтверждение. Обозначим K- число всех r- сочетаний n- элементного огромного количества A. Каждое r- элементное подмножество n- элементного огромного количества A §8. Перестановки - Error: Reference source not found § определяет r! перестановок огромного количества A, при всем этом различные подмножества определяют различные перестановки. Потому Kr! - число всех r- перестановок огромного количества A, равное n. Отсюда следует, что K = n §8. Перестановки - Error: Reference source not found §/ r! = =.

Пример 1. Каждый кортеж N, где , кодируется k-элементным подмножеством огромного количества . Потому, при фиксированном k, число всех кортежей N, где , равно .

Пример 2. Перечисление беспорядков степени n. Обозначим U- огромное §8. Перестановки - Error: Reference source not found § количество всех перестановок степени n, . Будем считать, что элементами перестановок являются числа . Перестановка степени n именуется кавардаком, если для всех .

Существует только один кавардак степени 2.

Существует только два кавардака степени 3.

Для обозначим огромное количество всех §8. Перестановки - Error: Reference source not found § перестановок степени n таких, что . Число всех беспорядков степени n равно числу всех перестановок степени n не принадлежащих огромному количеству . Обозначим число всех беспорядков степени n. По формуле включения- исключения

, (1)

где суммирование §8. Перестановки - Error: Reference source not found § ведётся по всем кортежам Nтаким, что

. Просто созидать, что для хоть какого кортежа N, где справедливо равенство

.

При фиксированном k число всех кортежей N, где , равно . Из равенства (1) следует, что

.

Потому §8. Перестановки - Error: Reference source not found §

.



8-sinhronnie-reaktivnie-mikrodvigateli-konspekt-lekcij-dlya-studentov-specialnosti-1-53-01-07-informacionnie.html
8-sistema-ocenki-dostizheniya-planiruemih-rezultatov-osvoeniya-osnovnoj-obrazovatelnoj-programmi-nachalnogo-obshego-obrazovaniya.html
8-situacionnie-zadachi-obrazovatelnij-standart-poslevuzovskoj-professionalnoj-podgotovki-specialistov-specialnost.html