8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь

^ 8. Архит и деление октавы напополам
1. Деление октавы напополам. Поделить октаву пополам – означает отыскать среднее геометрическое меж последними членами, имеющими двойное отношение. Будучи переведённой на язык математики, эта задачка сводится к отысканию чисел a и b 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь, образующих непрерывную пропорцию a : b = b : 2a. Если члены этой пропорции перемножить накрест, начальная задачка перевоплотится в задачку об отыскании 2-ух квадратных чисел b2 и a2, одно из которых вдвое 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь больше другого. Эта последняя задачка была изучена кем-то из ранешних пифагорейцев (может быть – Гиппасом), показавшим её неразрешимость.

Посреди историков арифметики существует мировоззрение, что приём вставки музыкальной пропорции в данный интервал мог 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь употребляться Архитом для вычисления поочередных приближений как среднего геометрического меж 1 и ^ N. Мысль заключается в том, чтоб воткнуть меж 1 и N среднее арифметическое и среднее гармоническое; меж этими средними – новые средние, и 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь т. д.; несложно показать, что этот процесс очень стремительно сходится.

^ 2. Связь с «вавилонским алгоритмом». Нужно сказать, что догадка о том, что Ар­хит использовал таковой метод, не доказана никакими документальными свидетельствами 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь. Может быть, что её источником послужило последующее сообщение Ям­вли­ха в Комменты к «Арифметике» Никомаха (118.23–119.3):

Считают, что она [музыкальная пропорция] – изобретение вавилонян, а к грекам пришла в первый раз через Пифагора. И ей 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь пользуются многие из пифагорейцев, как, к примеру, Аристей из Кротона, Тимей из Локр, Филолай, Архит из Тарента и многие другие, а потом Платон в Тимее.

Вавилоняне вправду умели отыскивать поочередные 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь приближения при помощи метода, формально совпадающего с описанным выше; но они исходили не из идеи образования музыкальной пропорции оковём вставки средних, но из чисто геометрических суждений. Продемонстрируем вавилонский способ извлечения квадратного корня на примере задачки 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь об отыскании стороны квадрата, равновеликого прямоугольнику с основанием 2 и высотой 1. Ясно, что эта сторона должна быть больше 1 и меньше 2; в качестве первого приближения возьмём их среднее арифметическое 3/2; несложно созидать, что оно является 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь лишним, так как (3/2)2 = 9/4 > 2/1. Образуем на основании 3/2 новый прямоугольник площади 2; его высота равна 4/3. Повторив процесс отыскания среднего арифметического и сопряжённого с ним среднего гармонического, найдём новые основание 17/12 и высоту 24/17. Ещё раз повторив процесс 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь, найдём новые основание 577/408 и высоту 816/577, и т.д.. (Вавилоняне производили свои вычисления в шестидесятеричной системе счисления, и на этом шаге получали итог 1;24,51,10, зафиксированный на клинописной табличке YBC 7289.)

^ 3. Ещё раз об 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь определении Архита. В приведённом выше определении среднего гармонического, которое даёт Архит Тарентский, употребляется очень типичная терминология. Тут не говорится ни о равенстве отношений (λόγοι), ни о числовой пропорции в её общем виде, – Архит определяет 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь среднее гармоническое на языке, созданном для описания того специального варианта, когда две величины образуют меж собой сверхчастное (ἐπιμόριον) отношение, выражающееся отношением 2-ух примыкающих натуральных чисел.

При делении сверхчастного дела на два дела при помощи 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь музыкальной пропорции новые возникающие дела тоже будут сверхчастными; аналогичное деление интервала на три, четыре и поболее частей может быть произведено при помощи вставки поочередных сверхчастных отношений:


^ 9. Три метода деления тетрахорда 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь по Архиту
1. Переход к другим сверхчастным отношениям. Расширение круга задействованных в теории сверхчастных отношений, произведённое Архитом, было делом чисто умозрительным. Может быть, что весь этот ход основывался на последующем суждении: в теории уже 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь применены сверхчастные дела квинты 3 : 2, кварты 4 : 3 и целого тона 9 : 8, причём 1-ые два соответствуют созвучным интервалам, а третье – несозвучному; спрашивается, играют ли в общей теории какую-либо роль промежные сверхчастные дела 5 : 4, 6 : 5, 7 : 6, 8 : 7?

Дополнительная неувязка, связанная 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь с описываемыми ниже конструктами, заключается в том, что даже интервалы 5 : 4 и 6 : 5 (так именуемые незапятнанные большая и малая терция) в древней музыкальной теории консонансными не числились. Получить эти интервалы из октавы и квинты сложением 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь и вычитанием нереально, так как в их описании задействовано новое обычное число 5, хорошее от 2 и 3. А это значит, что четкое их откладывание при слуховой настройке числилось неосуществимым; такое откладывание можно было 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь произвести только геометрически, при опытах со особым инструментом – монохордом либо каноном, представляющим из себя линейку с закреплённой на ней струной, когда положение точки, в какой под струну подставляется подвижный порожек, определяется оковём расчёта 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь и отмеривания по линейке.

^ 2. Вставка средних вовнутрь квинты и кварты. В итоге вставки 2-ух средних вовнутрь интервалов квинты и кварты образуются музыкальные пропорции, показанные на рис. 15. Мы лицезреем, что 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь при всем этом построении возникает 6 новых сверхчастных интервалов, четыре из которых характеризуются отношениями 5 : 4, 6 : 5, 7 : 6, 8 : 7, – теми, о которых ставился вопрос в прошлом пт.

Рис. 15

Согласно догадке Б. Л. Ван дер Вардена (1943/59), конкретно такая вставка средних описана 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь Платоном в заключительном предложении последующего куска Послезакония (991ab):

2-ое удвоение идёт к середине; и [одно среднее] равным образом больше наименьшего, как большее – среднего; другое же среднее схожими толиками последних превосходит и 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь превосходится (так в середину 6 к 12-ти встают полуторное и сверхтретье). Исходя из этих и обращаясь в середину меж обоими, оно обучило людей согласованности и соизмеримости ради ритмических игр и гармонии и дарила это 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь блаженному хороводу Муз.

^ 3. Три рода тетрахорда. Настоящая музыкальная практика старых греков знала три музыкальных строя – диатонический, хроматический и энгармонический. В описанной чуть повыше диатоническом строе спуск от верхнего голоса тетрахорда 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь к нижнему при пифагорейском методе опции шёл по схеме «тон – тон – леймма», хотя некие гармоники считали такую настройку очень жёсткой и рекомендовали несколько понижать натяжение третьей сверху струны. В хроматическом строе 2-ая сверху струна 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь опускалась приметно больше чем на тон, а 3-я разделяла оставшийся интервал приблизительно напополам; в энгармоническом строе интервал меж первой и 2-ой струнами был ещё больше, чем в хроматическом.

Эта настоящая 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь практика опции инструментов и выполнения музыки опиралась только на слуховой обычай, которому не было никакого дела до математических теорий. Но с пифагорейской «теоретической» точки зрения обычай, относящийся к сфере чувственного восприятия, был должен 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь быть ещё оправ­дан незапятнанным умозрением. Как пишет об этом А. В. Ахутин (1976, 48), «при таком подходе настоящее познание должно получаться в этом случае, если удаётся реконструировать все данные наблюдений, исходя из чисто 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь теоретических предпосылок». Отсюда появлялась спекулятивная задачка отыскания таких математических методов деления тетрахорда, которые могли бы «спа­сти явления».1

^ 4. Тетрахорды Архита: реконструкция построения. Описание того, как Архит создавал деление тетрахордов, сохранилось в Гармонике 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь Птолемея (I, 13):

Архит Тарентский, который из всех пифагорейцев больше всего занимался музыкой, пробует провести следование отношениям не только лишь в созвучиях, да и в делениях тетрахордов, полагая, что соизмеримость избытков присуща 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь музыке по природе. Он устанавливает три рода: энгармонический, хроматический и диатонический, и любой из их разделяет так. Ведомое отношение во всех трёх родах он определяет как 28 : 27, среднее – в энгармоническом 36 : 35, в диатоническом 8 : 7, соответственно ведущее – в энгармоническом 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь роде 5 : 4, в диатоническом 9 : 8. 2-ой от самого высочайшего звука в хроматическом роде он получает при посредстве занимающего то же положение в диатоническом; вправду, он утверждает, что 2-ой звук от самого 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь высочайшего в хроматическом относится к схожему ему в диатоническом как 256 к 243. Стало быть, он составляет эти тетрахорды согласно данным отношениям в таких первых числах: если мы обозначим самые высочайшие звуки тетрахордов 1512, а 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь самые низкие, согласно сверхтретьему отношению, 2016, то последнее составит 28 : 27 от 1944. Этим числом будут выражаться во всех трёх родах 2-ые звуки от самого низкого. Что все-таки касается вторых от самого высочайшего, то в энгармоническом роде выходит 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь 1890, которое относится к 1944 как 36 : 35, а к 1512 как 5 : 4; в диатоническом роде будет 1701, которое относится к 1944 как 8 : 7, а к 1512 как 9 : 8; в хроматическом роде будет 1792, которое относится к 1701 как 256 к 243.

Несложно осознать, что нижний 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь интервал 28 : 27, общий для всех трёх родов, представляет собой разность меж интервалами 7 : 6 и 9 : 8. От верхнего звука грядущего тетрахорда вниз откладывается квинта 3 : 2, а потом делается подъём ввысь на интервал, характеризующийся отношением 7 : 6 (рис. 16).



Рис. 16

Потом 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь в каждом из видов делается построение второго звука сверху. При всем этом в энгармоническом роде сверху откладывается отношение 5 : 4, и посреди остаётся 36 : 35, в диатоническом роде сверху откладывается отношение 9 : 8, и посреди остаётся 8 : 7, а 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь в хроматическом роде отношение 9 : 8 откладывается снизу (подъёмом на квинту и спуском на кварту), и вверху появляется отношение 32 : 27, а посреди остаётся отношение 243 : 224 (рис. 17). Представляется правдоподобным, что при таком устройстве тетрахордов первым строился диатонический строй, квинту 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь которого составляет каденция трёх поочередных сверхчастных интервалов 9 : 8, 8 : 7, 7 : 6. А хроматический и энгармонический строи создавались при помощи хитрецкой манипуляции, осознать теоретические основания которой навряд ли может быть.



Рис. 17

В целом же 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь эти спекуляции Архита навряд ли могли претендовать на какое-либо объясняющее значение. В этих построениях пифагорейская теория гармонии исчерпала свои способности, и начальный научный интерес, связанный с «удивительной эффективностью арифметики в науках о природе 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь», в данной области исследовательских работ совсем иссяк. Отныне пифагорейское учение о гармонии из исследовательского проекта перевоплотился в учебную дисциплину, просуществовавшую в качестве одной из составных частей квадривиума без малого два тысячелетия.

^ 5. Предел 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь пифагорейской теории и неувязка «теоретического слуха». Следует увидеть, что реализация Архитом платоновско-пифагорейской программки «спасения явлений» не могла не наткнуться на принципное различие меж «теоретическим зрением» и «теоретическим слухом». Аристоксен в 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь Гармонике (II, 14–18) гласит об этом так:

Наш предмет исходит из 2-ух начал: из слуха и из разумения. Ибо слухом мы различаем интервальные величины, а разумением созерцаем их функции. Следует приучить себя 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь кропотливо различать то и другое. Дело обстоит не так, как в чертежах, где принято гласить: «Допустим, что это ровная линия». Относительно интервалов от таких утверждений следует отрешиться. Ведь геометр не пользуется способностью восприятия и потому 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь не приучивает зрение различать, что отлично, а что плохо в прямой, в окружности либо в чём-то ещё; быстрее, этим занимается плотник, токарь либо другой ремесленник. Для музыканта же точность в 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь порядке восприятия – чуть не основное. Ведь нереально плохо воспринимающему отлично гласить о том, что никаким образом не воспринимается.

Порфирий в ^ Комменты к «Гармонике» Птолемея (28.9–19) передаёт эту же идея Аристоксена в последующих 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь словах:

Ведь музыка – не только лишь логическое учение, но чувственное и логическое вкупе; как следует, тому, кто по-настоящему ею занимается, нужно не упускать обе её стороны, ведущими же считать чувственные 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь явления, так как из их должен исходить разум. Геометр может считать круглое на доске прямым и беспрепятственно изучить аксиому, не заботясь о доверии к зрению относительно прямого, потому что он исходит из логической 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь материи. А музыкант не может подабающим образом изучить кварту, основываясь не на кварте, так как это поначалу должно быть согласовано с чувством, а позже уже разум должен быть присоединён к выявленному, так 8. Архит и деление октавы пополам - Е. В. Афонасин Ответственный секретарь что если это некорректно схвачено чувством, разум тоже окажется в заблуждении относительно правды.


8-pediatriya-hudozhestvennaya-literatura-225.html
8-perechen-sposobov-srokov-resheniya-problem-perechen-predpolagaemih-programmnih-meropriyatij.html
8-perestanovki-error-reference-source-not-found-.html